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# 起始點

這邊紀錄一下離散數學一些重要的概念，如果有時間的話，會從基礎的概念開始說起。

# 基本的符號

  • ¬\neg : negation
  • ∧\wedge : conjunction
  • ∨\vee : disjunction
  • →\rightarrow : implication
  • ↔\leftrightarrow : bi-implication

# 名詞介紹

  • Equivalent : 等效的，當兩個命題在任何情況下得出的結果都是相同的。
  • Tautology : 恆真句，在任何情況下得出的結果都是為 True 的結果
  • Contradiction : 恆假句，在任何情況下得出的結果都是 False 。
  • Contingency : 不為 恆真句 以及 恆假句 的命題。
  • Logically equivalent : 邏輯等效，當兩個命題的真值表都是相同的。
  • Inclusive or : 互斥或，可以寫成 ⊕\oplus
  • Enclusive or : 或，可以寫成 OR

# p→qp \rightarrow q 的邏輯等效

以下三個命題都是可以轉換成 p→qp \rightarrow q

  • q→pq \rightarrow p : converse
  • ¬q→¬p\neg q \rightarrow \neg p : contrapositive
  • ¬p→¬q\neg p \rightarrow \neg q : inverse

# 公式

  • p→q=¬p∨qp \rightarrow q = \neg p \vee q

# 1.1 Proposition Logic (命題邏輯)

命題是一個可以為是非的問句，可以觀察以下。

像前兩個是可以用是非邏輯去判斷他的，後兩個並不能去判斷是非對錯，故不是命題。
下面我們說一下邏輯基本運算子，有五種。

# 否定運算子 ： ¬\neg

p¬p0110\begin{array}{|c|c|} p & \neg p \\ \hline 0&1\\ 1&0\\ \end{array}

# AND 運算子 ： p∧qp \wedge q

稱為：conjuction, 但他的真值表跟 AND 一模一樣。如下所記錄的是在題目中常見的表達方法。

pqp∧q000010100111\begin{array}{|c|c||c|} p & q & p \wedge q \\ \hline 0&0&0\\ 0&1&0\\ 1&0&0\\ 1&1&1\\ \end{array}

以下都等效於：p∧¬qp \wedge \neg q

p, but q

# OR 運算子 ： p∨qp \vee q

稱為：disjuction, 但他的真值表跟 OR 一模一樣。

pqp∨q000011101111\begin{array}{|c|c||c|} p & q & p \vee q \\ \hline 0&0&0\\ 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&1\\ \end{array}

# Implication 含意 ： p→qp \rightarrow q

稱為：Implication, 比較特別的運算子。
假設 p: 今天有出太陽，q: 我是一個國王。
當 p →\rightarrow q 意思就是，如果今天有出太陽，那麼我就是一個國王。
兩者可以是沒有邏輯的關係，因此需要一點點時間來接受這個概念。

pqp→q001011100111\begin{array}{|c|c||c|} p & q & p \rightarrow q \\ \hline 0&0&1\\ 0&1&1\\ 1&0&0\\ 1&1&1\\ \end{array}

你可能會好奇 p(true)→q(false)=(false)p(true) \rightarrow q(false) = (false) 的部分，這邊可以解釋成，“如果我有一隻狗，那麼太陽會從西邊出來。” 而事實是我真的有一隻狗，但是太陽只會從東邊出來，這樣的命題為假 (false)，表示這個敘述不成立。

以下都等效於：p→qp \rightarrow q

if p, then q
if p, q
q unless ¬p
q if p
q whenever p
q follows from p
p implies q
p only if q
q when p
p is sufficient(充分) for q
q is necessary(必須) for p
a necessary condition for p is q
a sufficient condition for q is p

# Biconditional 雙含意 ： p↔qp \leftrightarrow q

稱為：Biconditional, 只有兩個命題成立，雙含意的命題才會成立，有點類似 XNOR。

pqp↔q001010100111\begin{array}{|c|c||c|} p & q & p \leftrightarrow q \\ \hline 0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0\\ 1&1&1\\ \end{array}

以下都等效於：p↔qp \leftrightarrow q

p if and only if

# 1.2

# 1.6 Rules of Inference

  1. Modus Ponens

這邊解釋一下，如果今天有兩個命題為真的話，那麼我的就可以得出一個新的結論。

pp→q−−−q\begin{aligned} p \\ p \rightarrow q\\ --- \\ q \end{aligned}

  1. Modus tollens

¬pp→q−−−¬q\begin{aligned} \neg p \\ p \rightarrow q\\ --- \\ \neg q \end{aligned}

  1. Hypothetical syllogism

p→qq→r−−−p→r\begin{aligned} p \rightarrow q \\ q \rightarrow r \\ --- \\ p \rightarrow r \end{aligned}

  1. Disjunctive syllogism

p∨q¬p−−−q\begin{aligned} p \vee q \\ \neg p \\ --- \\ q \end{aligned}

  1. Addtion

p−−−p∨q\begin{aligned} p \\ --- \\ p \vee q \end{aligned}

  1. Simplification

p∧q−−−p\begin{aligned} p \wedge q \\ --- \\ p \end{aligned}

  1. Resolution

p∨q¬p∨r−−−q∨r\begin{aligned} p \vee q \\ \neg p \vee r \\ --- \\ q \vee r \end{aligned}

# 1.7 Introduction to Proofs

  1. Trivial Proof : 平凡證明
  2. Vacuous Proof : 空證明
  3. Direct Proof : 直接證明
  4. Proof by contraposition : 反證法
  5. Proof by Contradiction : 歸謬法

# Reference

  • 1.6, 1.7
  • IThome
  • 離散數學筆記


左邊的命題可以換算成右邊的